Los Números Naturales y Números Enteros

1. Los Números Naturales

1.1. Introducción

El ser humano, desde sus orígenes, sintió la necesidad de contar. Quería conocer la cantidad de personas de su tribu, las piezas de ganado que poseía, etc. De esta forma surgió la idea de número.

El conjunto de los números naturales se representa por la letra N y comprende desde el 0 hasta el infinito. N ={0,1,2,3,…} 

Los números naturales son los que utilizamos normalmente para:Los números naturales se representan gráficamente con una recta numérica, donde se disponen los números a partir del cero hacia la derecha (el cero se considera número natural). «Más tarde fue representando dichos números mediante símbolos realizados con montoncitos de piedras, señales pintadas en la pared, etc, que con el desarrollo de la escritura se fueron concretando mediante signos. 

Los números que actualmente usamos para contar se llaman números naturales y el sistema que utilizamos es el sistema decimal» (Fuente: ITE).

Sirve para:

Contar objetos: el número de lápices de un estuche, la cantidad de edificios de una ciudad, las personas de una población, etc. 

Identificar cosas: números de teléfonos, números de las casas, D.N.I., etc. 

Ordenar: plantas de un edificio, posiciones en una carrera, páginas de un libro, etc. 

Medir magnitudes: distancias entre objetos, pesos, superficies de terrenos, etc

a) Sistema de Numeración posicional:

Según la posición que ocupe una cifra, cambia de valor. Estos valores de derecha a izquierda son: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, etc. Por ejemplo, el número 48 está compuesto por dos cifras, el 8 indica las unidades y el 4 las decenas. Sin embargo, el número 84 está formado por las mismas cifras, pero al estar en otra posición (el 8 indica decenas y el 4 unidades), representa otro valor diferente.

b) Es un sistema en base 10:

Consiste en escribir cualquier número con sólo diez símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9). Pasamos de una posición a otra superior multiplicando por diez, de ahí el nombre de decimal.

1.2. Otros sistemas de numeración

  1. Números romanos
  2. Sistema binario (en base2, utilizado por los ordenadores).
  3. Sistema octal (en base 8).
  4. Sistema hexadecimal (en base 16)
  5. Sistema sexagesimal. Etc.

2. Suma y resta de números naturales

La suma de números naturales, también conocida como adición, consiste en añadir una determinada cantidad a otra, dando siempre como resultado otro número natural.

Cada uno de los números que componen la suma se denominan sumandos.

La resta de números naturales, también conocida como sustracción o diferencia, consiste en descontar o quitar una determinada cantidad (denominada sustraendo) a otra (denominada minuendo).

2.1. Propiedades de la suma y de la resta

  1. Conmutativa : el resultado de una suma no varía al cambiar de orden los sumandos. Dados dos números naturales a y b.
  2. Asociativa: el valor de una suma no depende de cómo se asocien los
  3. Elemento neutro: al sumar 0 a cualquier número natural, el resultado es el mismo número. Por tanto, el 0 es el elemento neutro de la suma.

3. Multiplicación de números naturales

La multiplicación o producto es una expresión abreviada de una suma de varios sumandos iguales.

Ejemplo: Si tenemos que sumar el número 3 cinco veces, sería incomodo tener que realizar la suma 3+3+3+3+3 = 15. Para ello se aplica el concepto de multiplicación, que se expresa de la siguiente manera: 3 • 5 = 15.

3.1. Propiedades de la multiplicación

a) Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

Dados dos números naturales a y b, se cumple que a • b = b • a

Ejemplo: 3 •  4 = 4 • 3

b) Asociativa: el orden en que agrupemos varios factores para multiplicarlos no altera el producto.

Dados los números a, b y c, se cumple que (a • b) • c = a • (b • c)

Ejemplo: (6 • 3) • 2 = 6 • (3 • 2)

c) Elemento neutro o unidad: si multiplicamos cualquier número por 1, obtenemos el mismo número.

Dado un número a, se cumple que: a ∙ 1= a

Ejemplo: 8 • 1 = 1 • 8 = 8

d) Distributiva del producto con respecto a la suma y la resta: la multiplicación de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos parciales del número por cada término de la suma (o resta).

Dados los números a, b y c, se cumple que:

a • (b + c) = a • b + a • c ; a • (b – c) = a • b – a • c

Ejemplo: 3 • (6 + 4) =(3 • 6) + (3 • 4) ; 3 • (6 – 4) =(3 • 6) – (3 • 4)

4. División de números naturales

La división entre dos números consiste en averiguar cuántas veces contiene el primero al segundo. Por tanto, dividir es repartir un número llamado dividendo (D) entre otro número llamado divisor (d) obteniendo un resultado, denominado cociente (c), y un resto (r).

Si queremos guardar 8 libros en cajas de 2 libros cada una, tendríamos que repartir 2 libros en cada caja. Para ello deberíamos usar 4 cajas: 2+2+2+2 = 8

En este caso, al realizar el reparto no sobra ningún libro, es decir, el resto es cero, entonces se dice que la división es exacta.

Supongamos que ahora tenemos 11 libros para repartirlos en las 4 cajas. Entonces nos sobraría 1 libro, es decir, el resto de la división es 1. Cuando el resto es distinto de cero la división es entera.

En las divisiones exactas se cumple que dividendo = divisor cociente

En las divisiones enteras se cumple que dividendo = divisor cociente + resto.

5. Resumen

  • El sistema de numeración decimal consiste en utilizar los símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.
  • Sumar dos números naturales consiste en añadir a la cantidad que representa uno, la cantidad del otro. A ambos números se les llama sumandos.
  • Restar es descontar a un número (minuendo) la cantidad de otro (sustraendo).
  • Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a
  • Propiedad asociativa de la suma: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
  • Elemento neutro de la suma: a + 0 = a
  • La multiplicación es una forma abreviada de calcular la suma de varios sumandos iguales.
  • Propiedad conmutativa de la multiplicación: a • b = b • a
  • Propiedad asociativa de la multiplicación: a • ( b • c ) = ( a • b ) • c
  • Propiedad distributiva de la multiplicación: a • ( b + c ) = ( a • b ) + ( a • c )
  • Elemento neutro de la multiplicación: a • 1 = a
  • Dividir es repartir un número llamado dividendo (D) entre otro número llamado divisor (d) obteniendo un resultado, denominado cociente (c), y un resto (r).
  • La división es exacta cuando el resto es cero y es entera cuando el resto es distinto de cero.
  • Dividendo = divisor • cociente + resto.
  • Para realizar operaciones combinadas, primero operamos los paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y después sumas y restas igualmente de izquierda a derecha.

6. Los números enteros

6.1. Introducción

A veces no tenemos suficiente con los números naturales para representar determinadas situaciones cotidianas que toman como referencia el cero para medir algo.

Observa      por      ejemplo      un     termómetro meteorológico en el  que  aparecen  números naturales      y                  por         debajo    de    éstos existen números que indican temperaturas menores que cero.

Este es un ejemplo frecuente del uso de números enteros (números positivos, el cero y números negativos). Habrás visto a veces que el termómetro marca una temperatura de cuatro grados bajo cero, lo que es lo mismo que -4ºC (menos cuatro grados centígrados).

6.2. Concepto de número entero

En muchas situaciones cotidianas de nuestra vida hay medidas que no pueden expresarse únicamente con los números naturales. Son aquellas que pueden tomar valores negativos.

Ejemplo: Para medir la temperatura se establece arbitrariamente el valor 0ºC como referencia, de tal forma que cuando la temperatura se sitúa por debajo de cero toma valores negativos.

Para indicar estos valores se utilizan los números negativos (-1, -2, -3, -4,…)

De ésta forma nace el concepto de número entero, que comprende todos los números naturales y los números negativos.

Se representan con la letra:

Z= {…,-4,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,… }

El cero es el único número entero que no es ni positivo ni negativo.

6.3. Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es la distancia, en unidades, que   hay desde dicho número al cero.

Se representa escribiendo el número entre dos barras y es el mismo número pero sin signo.

  Dado un número entero positivo a, se cumple que |a| = a   Ejemplo: |3| = 3

  Dado un número entero negativo – a, se cumple que |-a| =a   Ejemplo: |-3| = 3

6.4. Potencias

La potencia de un número entero positivo, base positiva, siempre es positiva.

La potencia de un número entero negativo, base negativa, puede ser positiva o negativa.

6.5. Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número entero, a, es otro número, b, tal que b2 = a:

√a = b si b2 = a

a se llama radicando

√ es el signo radical

b es la raíz cuadrada de a

La raíz cuadrada de un número es la operación inversa al cuadrado de otro número. Por ello, una raíz cuadrada da como

resultado dos números con igual valor absoluto pero con signo contrario. Recordemos que al multiplicar cualquier número por sí mismo, da igual que éste sea positivo o negativo, el resultado siempre es positivo (regla de los signos).

  ( + • + = + ; – • – = + )

Ejemplo: √9 = +3 y – 3 porque +32 = 9 y (-3)2 = 9

La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe ya que no podemos encontrar ningún número que elevado al cuadrado sea negativo.

La raíz cuadrada de un número es exacta cuando existe otro número entero que multiplicado por  sí mismo nos da el primero

Ejemplo: √4= +2 y -2 porque 2 · 2 = 4 y (-2) · (-2) = 4

La raíz cuadrada de un número es inexacta cuando no existe otro número entero cuyo cuadrado sea el primero.

Ejemplo: No existe un número entero cuyo cuadrado sea 5, por anto √5 es inexacta.

6.6. Resumen

  • Los números enteros comprenden los números naturales y los números negativos.
  • El valor absoluto de un número es el número de unidades que lo separa  del cero.
  • Para sumar dos números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos y se mantiene el signo.
  • Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone  el signo del mayor.
  • Para restar dos números enteros, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
  • Para multiplicar o dividir números enteros, se multiplican o dividen los valores absolutos y al resultado se le pone el signo que viene dado por la regla de los signos.
  • Una potencia es una forma abreviada de expresar el producto de varios factores iguales.
  • La potencia de un número entero positivo es siempre un número entero positivo.
  • La potencia de un número entero negativo es un número positivo si el exponente es par.
  • La potencia de un número entero negativo es un número negativo si el exponente es impar.
  • La raíz cuadrada de un número entero positivo, es otro número, y su opuesto, tal que su cuadrado es igual al primer número.