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Bibliografía:
Blanco Ayllón, M. F. (2011). Geometría del plano y del espacio, sistemas de medida. Área Didáctica de la Matemática. Granada: Escuela Universitaria La Inmaculada.
 

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GEOMETRÍA DEL PLANO Y DEL ESPACIO.
SISTEMA DE MEDIDA
1. Conceptos del plano, recta, punto, semiplano, semirrecta, segmento y
ángulo.
Concepto Dibujo
Punto. Tiene posición pero no dimensión. Se
representa por la intersección de dos rectas.
Plano. Conjunto infinito de puntos. Superficie sin
aristas ni ondulaciones.
Línea recta. Subconjunto de infinitos puntos del
plano en la misma dirección. Es la sucesión de
puntos en la misma dirección.
Rectas paralelas. Líneas que están en el mismo plano
y que no se cortan.
Rectas perpendiculares. Son aquellas que al cortarse
forman cuatro ángulos rectos.
Semiplano. Es cada una de las dos partes que
resultan de dividir un plano con una recta.
Rectas secantes. Rectas que tienen un punto común.
Segmento. Es la parte de recta comprendida entre
dos de sus puntos. Se clasifican en: concatenados,
cuando cada uno tiene extremo común con el que le
sigue, y sucesivos, que son los segmentos
concatenados que están en la misma recta.
A
B
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2
Distancia entre dos puntos. Longitud del segmento
que los une.
Distancia de un punto a una recta. Longitud del
segmento que resulta de trazar una recta
perpendicular desde el punto a la recta.
Distancia entre dos rectas paralelas. Longitud de
segmento que resulta de trazar una recta
perpendicular común a las dos rectas y comprendida
entre ellas.
Mediatriz de un segmento. Recta perpendicular
trazada desde un punto exterior (al segmento) al
punto medio de dicho segmento.
Ángulo. Porción del plano limitada por dos
semirrectas de origen común.
Lados de un ángulo. Cada una de las semirrectas que
forma un ángulo.
Vértice. Es el punto común de los lados del ángulo.
2. Medida de ángulos. Operaciones con medidas de ángulos. Complementario
y suplementario.
Vértice
Lado del ángulo
Longitud
Recta 2
Recta 1
A
Recta
Longitud
A
Longitud
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3
Concepto Dibujo
Ángulo llano. Son aquellos ángulos cuyos lados en
prolongación están en la misma recta que abarcan un
semiplano. Sus lados son semirrectas opuestas
contenidas en la misma recta. Mide 180º.
Ángulo recto (AOB). Lo forman dos rectas cuando
se cortan perpendicularmente. Mide 90 º y es igual a
su adyacente, por tanto el ángulo recto es cada uno
de los dos ángulos adyacentes iguales.
Ángulo agudo (COD). El ángulo menos abierto que
el recto. Ángulo que mide más de 0º y menos de 90º.
Ángulo obtuso (EOF). Ángulo más abierto que el
recto y menos que el llano. Ángulo que mide más de
90 grados y menos de 180 grados.
Ángulo convexo (COD). Ángulo cuyos lados están
menos abiertos que los de un llano.
Ángulo cóncavo (COD). Ángulo cuyos lados están
más abiertos que los de un llano.
Ángulo nulo (COD). Ángulo convexo cuyos lados
Ángulo completo (COD). Ángulo cóncavo cuyos
lados coinciden
Ángulos consecutivos (AOB y BOC). Son los
ángulos que tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes (AOB y BOC). Son ángulos
consecutivos (mismo vértice y un lado común)
cuyos lados no comunes están en la misma recta.
Sumados forman un ángulo de 180º.
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4
Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos no
adyacentes formados por dos líneas que se
intersecan. Los ángulos opuestos por el vértice son
iguales. Los lados de uno son la prolongación de los
lados del otro.
Ángulos complementarios. Son dos ángulos que
suman un recto.
Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que
suman dos rectos o un ángulo llano.
Ángulos alternos externos. Son ángulos no
consecutivos ni adyacentes que resultan de cortar
dos rectas por medio de una secante y que quedan en
su parte exterior (1 y 8; 7 y 2).
Ángulos alternos internos. Son ángulos no
adyacentes que resultan de cortar dos rectas por una
secante y que quedan en su parte interior (3 y 6; 5 y
4).
Ángulos iguales. Son aquellos ángulos que
superpuestos coinciden.
Bisectriz de un ángulo. Es la recta que pasa por el
vértice del ángulo y forma con los lados dos ángulos
Grado. Son las unidades que se utilizan para medir
ángulos.
Grado sexagesimal. Es la medida que resulta de
dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Se
representa con 1º.
Minuto sexagesimal. Es la medida que resulta de
dividir un grado sexagesimal en 60 partes iguales. 1º
= 60′.
Segundo sexagesimal. Es la medida que resulta de
dividir un minuto sexagesimal en 60 partes iguales.
Se representa 1′ = 60».
1 2
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5
3. Concepto de polígono. Polígonos regulares. Clasificación.
Concepto Dibujo
Línea poligonal. Línea formada por varios
segmentos concatenados que tienen como origen el
extremo del segmento anterior.
Línea poligonal abierta. Línea formada por varios
segmentos en el que el primero y el último no llegan
a unirse.
Línea poligonal cerrada. Línea formada por varios
segmentos los cuales se unen limitando al polígono.
No hay extremos.
Polígono. Figura plana limitada por una línea
poligonal cerrada.
Los polígonos de acuerdo al número de lados se
clasifican en:
Suma de ángulos. Para sumar dos ángulos: Los
ponemos consecutivos y el ángulo suma es el
determinado por los lados no comunes. Sumamos la
amplitud de los ángulos. AOB + BOC = AOC
Resta de ángulos. Para restar dos ángulos: Los
superponemos a partir de un lado común y el ángulo
diferencia es el determinado por los lados no
comunes. Restamos la amplitud de los grados de los
ángulos que nos dan. AOB – AOC = COB
Multiplicación de un ángulo por un número. Al
multiplicar un ángulo por un número, obtenemos
otro de amplitud, el producto del número por la
amplitud del ángulo dado.
División de un ángulo por un número. El cociente de
un ángulo por un número se obtiene dividiendo la
amplitud del ángulo dado por el número.
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X 2 =
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6
– polígonos de 3 lados se llaman Triángulos.
– polígonos de 4 lados se llaman Cuadriláteros.
– polígonos de 5 lados se llaman Pentágono.
– polígonos de 6 lados se llaman Hexágonos.
– polígonos de 7 lados se llaman Heptágonos.
– polígonos de 8 lados se llaman Octágonos.
– polígonos de 9 lados se llaman Eneágonos.
– polígonos de 10 lados se llaman Decágonos.
– polígonos de 12 lados se llaman Dodecágonos.
– polígonos de 20 lados se llaman Icoságonos
Un polígono es equilátero si sus lados son iguales.
Un polígono es equiángulo si los ángulos son
Un polígono es regular si es equiángulo y
equilátero.
Polígono regular. Polígono que tiene los lados y los
ángulos iguales.
Polígono irregular. Tiene al menos dos lados o dos
ángulos desiguales.
Polígono convexo. Es el que tiene todos sus ángulos
convexos. Todos los ángulos interiores son menores
de 180º. Al unir dos puntos cualesquiera del
polígono el segmento que resulta es siempre interior
al mismo.
Polígono no convexo (Cóncavo). Es el que tiene
algún ángulo cóncavo Es el polígono con al menos
un ángulo interior mayor de 180º. Podemos
encontrar dos puntos del polígono quedando en su
exterior parte del segmento que los une.
Lado de un polígono. Cada uno de los segmentos
que forman o delimitan un polígono. lado
A
B
A
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Vértice de un polígono. Es cada uno de los puntos
donde se unen dos lados de un polígono.
Centro de un polígono regular. Punto que está a
igual distancia de los vértices del polígono.
Radio de un polígono regular. Es el segmento que
une el centro del polígono con alguno de sus
vértices. Lo es también de la circunferencia
Apotema de un polígono regular. Segmento que une
el centro del polígono con el punto medio de alguno
de los lados. Es perpendicular al mismo. Es el radio
de la circunferencia inscrita.
Área de un polígono regular.
Área del triángulo AOB = (1 x a) / 2
Área del polígono = Área del triángulo AOB
multiplicado por el número de lados
Es la mitad del producto de su perímetro por la
longitud de su apotema A = p x a / 2
Ángulo central de un polígono regular. Es el ángulo
de vértice el centro del polígono y lados dos radios
consecutivos del polígono. (AOB)
Mide 360/n, siendo n el número de lados del
polígono
Ángulo interior de un polígono. Es un ángulo
interior al polígono y formado por dos lados
consecutivos (ABC)
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B
A
B
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Ángulo exterior de un polígono. Es el ángulo
exterior al polígono formado por un lado y la
prolongación de otro consecutivo
Perímetro de un polígono. Suma de las longitudes
los lados de un polígono Perímetro = Long 1 + Long 2 + … longN
Diagonal de un polígono. Es el segmento que une
dos vértices no consecutivos del polígono
Número de diagonales de un polígono: n x (n – 3) /
2; donde n es el número de lados del polígono.
Igualdad de polígonos. Dos polígonos son iguales
cuando superpuestos coinciden.
Polígonos equivalentes. Son polígonos que tienen
igual área pero no necesariamente la misma forma.
Polígonos semejantes. Son aquellos que tienen
ángulos iguales y lados proporcionales.
Suma de ángulos interiores de un polígono convexo.
Suma = 180º (n – 2 ); n = número de lados
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es
180 º
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero
de 360 º
Suma = 180º (n – 2 )
n = número de lados
Valor en los ángulos interiores de un polígono
180º (n – 2 )/n; n = número de lados
Valor de un ángulo interior de un triángulo es 60º
Valor de un ángulo interior de un cuadrado es 90º
Valor de un ángulo interior de un pentágono regular
es 108º
Valor del ángulo central de un pentágono regular
360/5 = 72º
La suma de los ángulos exteriores de un polígono es
360 º
180º (n – 2 )/n
n = número de lados
Clasificación de los Triángulos
2
2
1
2 4
4
5 x (5 – 3)
= 5
2
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Triángulo. Polígono que tiene tres lados.
Según sus lados:
Triángulo equilátero. Triángulo que tiene sus tres
lados y ángulos iguales.
Triángulo isósceles. Triángulo que tiene sólo dos
lados y dos ángulos iguales, y un ángulo y un lado
Triángulo escaleno. Triángulo que no tiene ningún
lado y ningún ángulo igual.
Según sus ángulos:
Triángulo rectángulo. Triángulo que tiene un ángulo
interior recto. Puede ser isósceles o escaleno pero
nunca equilátero.
Triángulo acutángulo. Triángulo que tiene los tres
ángulos interiores agudos. Puede ser equilátero,
isósceles o escaleno.
Triángulo obtusángulo. Triángulo que tiene un
ángulo interior obtuso. Puede ser isósceles o
escaleno, pero nunca equilátero.
Elementos Notables de un triángulo:
Incentro. Es el punto de intersección de las tres
bisectrices de un triángulo. Equidista de los tres
lados, por lo que es el centro de la circunferencia
inscrita, tangente a los tres lados.
Mediana de un triángulo. Es el segmento que va de
un vértice al punto medio del lado opuesto.
Catetos
Hipotenusa
Catetos
Hipotenusa
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10
Baricentro. Punto de intersección de las tres
Altura de un triángulo. Segmento que va
perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto
o a su prolongación.
Ortocentro. Es el punto de intersección de las tres
Mediatriz de un lado de un triángulo. Es la línea
perpendicular en el punto medio del lado.
Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres
mediatrices de un triángulo. Es el centro de la
circunferencia circunscrita que pasa por los tres
vértices del triángulo.
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Triángulos Congruentes
Dos o más triángulos son congruentes cuando
superpuestos coinciden en sus tres lados y sus tres
ángulos.
Se puede determinar la congruencia de dos
triángulos si cumplen con cualquiera de los
siguientes criterios:
– Dos triángulos son congruentes si son congruentes
dos lados y el ángulo comprendido (LAL)
– Si son congruentes dos ángulos y el lado
comprendido (ALA)
– Si los tres lados son congruentes, (LLL)
– Si son respectivamente congruentes un lado, un
ángulo adyacente a él y el lado opuesto
– Si son congruentes dos lados y el ángulo opuesto al
mayor de éstos.
– Los triángulos rectángulos son congruentes, si
tienen congruentes la hipotenusa y un cateto o la
hipotenusa y un ángulo agudo.
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12
Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son congruentes y
sus lados homólogos son proporcionales entre sí. Es decir los
triángulos semejantes tienen la misma forma pero diferente tamaño.
Por esta definición tenemos que:
– Dos triángulos congruentes son también
– Dos triángulos semejantes a un tercero, son
semejantes entre sí.
– Dos triángulos son semejantes, si tienen sus
lados ordenadamente paralelos o
Para determinar si dos triángulos son
semejantes, se consideran los siguientes
criterios:
– Que dos ángulos de uno sean iguales o
congruentes a dos ángulos del otro.
– Que dos lados del uno sean proporcionales a
dos lados del otro y los ángulos comprendidos
iguales o congruentes.
– Que los tres lados del uno sean proporcionales
a los tres lados del otro.
Clasificación de los cuadriláteros convexos:
Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados.
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14
Pentágono. Polígono de cinco lados.
Hexágono. Polígono de seis lados.
Heptágono. Polígono de siete lados.
Octógono. Polígono de ocho lados.
Eneágono. Polígono de nueve lados.
Decágono. Polígono de diez lados.
Endecágono. Polígono de once lados.
Dodecágono. Polígono de doce lados.
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15
Pentedecágono. Polígono de 15 lados.
Icodecágono o Icosógono. Polígono de veinte lados.
4. Medidas de superficie.
5. Área del polígono.
El área es la medida de la superficie de los polígonos. Esta área se expresa en función
de la medida de los lados, las alturas o las diagonales, según el tipo de cuadrilátero.
Área de polígonos regulares:
El área del polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema. Para
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16
sacar el área de los polígonos regulares se necesitan las siguientes fórmulas para las
diferentes figuras:
Área del Cuadrado: Es igual al producto de sus lados o lado al cuadrado.
A = l x l o A = l2
Área del Rectángulo: Es igual al producto de la base por altura.
A = b x h
Área del Triángulo: Es igual a la mitad del producto de la base por la altura.
A = b x h
2
Área del Trapecio: Es igual a la semisuma de las bases multiplicado por la altura
A = B x b x h
2
Área del Rombo: Es igual al semiproducto de la diagonal mayor por la diagonal
menor
A = D x d
2
Área de la Circunferencia: Es igual al cuadrado del radio multiplicado por el valor de
PI (Π = 3,141516)
A = r2 x Π
Área de un Polígono: Es igual al semiproducto del perímetro por el apotema.
A = p x ap = 1/2(n x l x ap)
2
Nota: n, es el número de lados del polígono
Apotema: La apotema es el segmento que va desde el centro del polígono a la mitad de
un lado.
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Por ejemplo, sacar el perímetro de una estrella de cinco picos con 57 cm.
6. Circunferencia. Longitud de una circunferencia. Área del círculo.
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Concepto Dibujo
Circunferencia. Lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de uno interior llamado centro.
Centro de una circunferencia. Punto interior del cual
equidistan todos los puntos de la circunferencia (O).
Radio de una circunferencia. Es el segmento que une
el centro de una circunferencia con cualquier punto
de la misma (O A).
Diámetro de una circunferencia. Es el segmento que
une dos puntos de la circunferencia pasando por el
centro. Equivale a dos radios.
Cuerda. Es el segmento que une dos puntos
cualesquiera de la circunferencia.
Arco de circunferencia. Porción de la circunferencia
limitada por dos de sus puntos.
Semicircunferencia. Cada uno de los arcos en que
queda dividida la circunferencia por un diámetro.
Recta exterior a una circunferencia. Cuando la recta
y la circunferencia no tienen ningún punto en
común.
Recta tangente a la circunferencia. Cuando la recta y
la circunferencia tienen un punto en común.
Recta secante a la circunferencia. Cuando la recta
tiene dos puntos en común con la circunferencia. La
distancia del centro a la recta es menor que el radio.
Circunferencias exteriores. Cuando todos los puntos
de cada una de las circunferencias son exteriores a la
Circunferencia interior. Cuando todos los puntos de
una circunferencia son interiores a la otra.
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Ángulo Semiinscrito. Tiene su vértice en la
circunferencia, un lado es una cuerda y el otro lado
es una tangente a la circunferencia. Mide la mitad
del arco que abarca.
Ángulo Interior. Tiene el vértice en un punto del
círculo y mide la semisuma de los arcos
comprendidos entre sus lados y las prolongaciones.
Ángulo Exterior. Aquel que tiene su vértice fuera de
la circunferencia y sus lados son secantes. Mide la
semidiferencia de los arcos que abarca.
Longitud de la circunferencia. L = 2 π r. L = 2 π r
El número Pi (π). Es el número de veces que la
circunferencia contiene su diámetro. Π = L / 2r = L / d
Polígono inscrito en una circunferencia. Cuando
todos los vértices del polígono pertenecen a la
circunferencia. Sus lados son cuerdas de esa
circunferencia. La circunferencia se dice circunscrita
al polígono.
Todo polígono regular puede ser inscrito en una
Polígono circunscrito a una circunferencia. Cuando
todos sus vértices son puntos de la circunferencia y
todos los lados del polígono son tangentes a la
circunferencia. La circunferencia estará inscrita en el
polígono.
β
b
a β =
a + b
2
a
b
α
α =
a + b
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Los polígonos regulares tienen una única
circunferencia inscrita y otra circunscrita, y ambas
son concéntricas. El centro de ambas circunferencias
se llama centro del polígono regular.
Procedimiento para inscribir un polígono regular
en una circunferencia:
1. Con la ayuda de un compás, trazamos una
circunferencia y denotamos el centro con la letra »
o”.
2. Dividimos la medida de la circunferencia (360°)
entre el número de lados del polígono que vamos a
elaborar. En este caso construiremos un hexágono
regular, que dividimos entre 6. Ejemplo: 360 ÷ 6 =
60°
3. Con el graduador, construimos el ángulo de 360/6
= 60°.
4. Utilizamos una regla, trazamos un segmento entre
los puntos A y B.
5. Con abertura del compás igual a la longitud del
segmento AB, determinamos los puntos C, D, y E.
6. Unimos con una regla los puntos A, B, C, D y E;
y como resultado obtenemos un pentágono regular
inscrito en una circunferencia.
Longitud de un arco de circunferencia.
(2 π r) x n / 360; n = número de grados que abarca el
(2 π r) x n / 360
Círculo (Definición y área). Conjunto de puntos del
plano limitados por una circunferencia. La distancia
de cualquier punto del círculo al centro de la
circunferencia es inferior al radio de la misma.
A = π r 2
Semicírculo. Es cada una de los partes en las que
queda dividido un círculo por un diámetro.
Semicírculo
Semicírculo
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Longitud de la circunferencia y el número «pi»
Analiza la siguiente actividad: Jorge traza en el patio una
circunferencia que tiene un diámetro de 2m y la cubre totalmente
con una cuerda.
Jorge, luego de cubrir y medir el largo de la cuerda (6,26 metros),
se da cuenta que necesitó 3 veces y un poco más la longitud del
diámetro; es decir 6 metros y 28 centímetros (6,28).
Sector circular. Es la parte del círculo comprendida
entre dos radios y el arco que abarcan. Dos radios
dividen al círculo en dos sectores circulares.
Segmento circular (Definición y área). Parte del
círculo comprendido entre una cuerda y su arco. Una
cuerda limita dos segmentos circulares.
Corona circular (Definición y área). Es la porción de
círculo comprendido entre dos circunferencias
concéntricas.
ZONA CIRCULAR: Es la zona del círculo limitada
por dos secantes.
Trapecio circular (Definición y área). Es la parte de
corona circular comprendida en un ángulo central.
Corona
circular
Segmento
circular
Sector
circular
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Si dividimos 6,28 m para 2m del diámetro obtenemos como
cociente 3,14 m.
Como la longitud de cualquier circunferencia siempre va a ser igual
a 3 veces y un poco más el valor de su diámetro, el valor de 3,14 en
matemática se designa con la letra griega «pi» (observa el gráfico
que sigue).
Si: LC = Longitud de la circunferencia y d = diámetro; entonces la
longitud de la circunferencia es igual a diámetro por pi.
Además sabemos que el diámetro de la circunferencia es igual a 2
veces el radio, entonces podemos decir que la longitud de la
circunferencia es igual a 2 por radio por pi.
RECUERDA:
El valor de «Pi» (3,14) representa a 3 veces y un poco más la
longitud del diámetro de una circunferencia.
Calculemos la longitud de una circunferencia cuyo diámetro es 6
metros y de una circunferencia cuyo radio es 6 metros.
Observa en la gráfica siguiente como lo hacemos:
Área del círculo
Si tenemos una circunferencia de radio 2 cm. y trazamos una cuadrícula con cuadros de
1 cm, veremos que existen 12 cuadros aproximadamente en la zona circular.
Este número de cuadros representa el área por lo tanto, el área del círculo es igual al
producto del radio al cuadrado del círculo por «pi»
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Si tenemos una circunferencia de radio 2 cm podemos calcular su área elevando al
cuadrado el radio y multiplicándolo por el valor de pi (3,14). Observa el siguiente
gráfico.
7. Poliedros. Prisma. Pirámide. Cilindro. Cono. Esfera. Áreas y volúmenes.
El cubo, los volúmenes prismáticos, el tetraedro y las pirámides han sido admirados
desde antiguo por la perfección de su geometría y por su atractivo estético. Todos ellos
son formas singulares de una familia general de formas en el espacio llamadas
Si analizamos las características de los siguientes sólidos geométricos se puede observar
que todas las caras de estos sólidos o cuerpos geométricos son planas; por ellos se
llaman poliedros.
Un poliedro es un sólido geométrico que tiene solo caras planas.
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Clasifiquemos a los poliedros e identifiquemos sus elementos principales:
Todo poliedro que tiene dos bases paralelas formadas por figuras iguales se llaman
Todo poliedro que tiene una base, sus caras laterales son triángulos y terminan en punta
se llaman pirámides. Por tanto:
Prisma: poliedro que tiene 2 bases iguales y paralelas.
Pirámides: poliedro que tienen 1 base, sus caras laterales son triángulos y terminan en
Elementos de los poliedros
Los poliedros son figuras geométricas cerradas en el espacio delimitadas por cuatro o
más polígonos planos. En un poliedro se distinguen los siguientes elementos:
 Las caras: cada uno de los polígonos que lo delimitan.
 Las aristas: rectas en las que confluyen dos caras adyacentes.
 Los vértices: puntos de intersección entre las aristas.
 Los ángulos poliedros: formados por tres o más caras, con un vértice común.
 Las diagonales: rectas trazadas entre dos vértices de distintas caras.
Número de aristas de un poliedro según la fórmula de Euler Venn
Para calcular el número de aristas de cualquier poliedro, sumamos
el número de caras más el número de vértices y al final restamos 2.
Por ejemplo: el número de aristas que tiene un cubo es igual a 12.
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La fórmula para calcular el número de aristas de un poliedro se
denomina Fórmula de Euler Venn en honor del descubridor de esta
relación.
Según el número de caras, los poliedros se denominan tetraedros (4 caras), pentaedros
(5), hexaedros (6), heptaedros (7), octaedros (8), dodecaedros (12), icosaedros (20),
etcétera.
Sólo existen cinco poliedros regulares, cuyas caras son polígonos regulares e iguales:
tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro regulares.
Ejemplos de poliedros. De izquierda a derecha: cubo, tetraedro, hexaedro no
regular, dodecaedro y prisma oblicuo.
Clasificación de poliedros regulares
Tetraedro
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
Su superficie está constituida por 6 cuadrados.
Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Es un prisma cuadrangular regular.
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Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de
dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.
Prisma
El prisma regular es un cuerpo
geométrico limitado por 2 polígonos regulares, llamados
bases, y por tantos rectángulos como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de
la base. (Ejemplo: Prisma pentagonal).
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Área lateral: es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h)
del prisma.
AL = P · h
Área total: es igual al área lateral más el área de los polígonos de las 2 bases.
AT = AL + 2 · Ab
Volumen: es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura del prisma.
V = Ab · h
PIRÁMIDE
La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por
un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos
como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del
polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).
Área lateral: es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura
de una cara lateral (a) de la pirámide y dividido entre 2.
AL = P · a / 2
Área total: es igual al área lateral más el área del polígono de la base.
AT = AL + Ab
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Volumen: es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) de la
pirámide y dividido entre 3.
V = Ab · h / 3
CILINDRO
El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo
al girar en torno a uno de sus lados.
Área lateral: es igual a 2 multiplicado por r por π ( pi ), el resultado multiplicado por
el radio de la base (B) y multiplicado por la generatriz ( g ) del cilindro.
AL = 2 · π · r · g
Área total: es igual al área lateral más las áreas de los dos círculos de las bases.
AT = AL + 2 · Ab
Volumen: es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del
V = Ab · h
CONO
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo
rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver
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revolución cono.
Área lateral: es igual a π (pi) multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado
por la generatriz (g) del cono.
AL = π · r · g
Área total: es igual al área lateral más el área del círculo de la base.
AT = AL + Ab
Volumen: es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del cono
y dividido entre 3
V = Ab · h/ 3
ESFERA
La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una
semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Área: es igual a 4 multiplicado por π (pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado
del radio de la esfera.
A = 4 · π · r2
Volumen: es igual a 4 multiplicado por π (pi), el resultado se multiplica por el cubo del
radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3.
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V = 4/3 · π · r3
8. Transformaciones Geométricas
Las transformaciones geométricas son aplicaciones que hacen corresponder unos puntos
en el plano con otros para obtener otra figura es decir, es la aplicación que hace
pertenecer a cada punto del plano otro punto del plano.
Las transformaciones más comunes son las simetrías, traslaciones, rotaciones y las
homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el
tamaño y cambiar la figura de posición.
Simetría
La simetría geométrica es la propiedad de un objeto que se presenta cuando las
características de forma, tamaño y posición relativa de sus partes, son las mismas en
ambos lados de una línea divisora equidistante imaginaria llamada eje de simetría.
Simetría de rotación
Una figura tiene simetría de rotación n veces si puede rotarse grados alrededor de un
punto (donde n es un entero positivo) de modo que la imagen resultante coincida con la
figura original
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Simetría de traslación
Una figura presenta simetría de traslación si puede trasladarse de modo que la imagen
coincida con la figura original. Las figuras con simetría de traslación necesariamente se
repiten de forma infinita; sólo es posible representar una parte finita de la figura.
La traslación es un movimiento que no altera ni el tamaño ni la forma ni la orientación
de las figuras.
Tipos de simetrías
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Simetrías axiales.-
Dos figuras son simétricas cuando al doblar por su eje de simetría coinciden en todos
sus puntos.
Dos figuras son simétricas respecto a un eje (llamado eje de simetría) si los puntos
homólogos están a la misma distancia del eje y la recta que los une es perpendicular a
él.
La simetría axial es un movimiento que no altera ni el tamaño ni la forma de las figuras.
Observaciones:
 El simétrico de un punto que pertenece al eje de simetría es el mismo punto.
 El simétrico de un segmento que pertenece al eje de simetría es el mismo
 Cuando le aplicamos a una figura dos simetrías axiales de ejes paralelos se ha
efectuado una traslación.
 Cuando le aplicamos a una figura dos simetrías axiales de ejes no paralelos (se
cortan en un punto) se ha efectuado un giro.
simetría axial
Simetrías centrales.-
Dos figuras son simétricas respecto a un punto, llamado centro de simetría si sus puntos
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homólogos equidistan al centro y están en línea recta con él.
Figuras simétricas
Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría
transforma a la figura en ella misma.
El eje de simetría de una figura es una recta que divide a la figura en dos partes
iguales, de tal manera que los puntos situados en una parte de la recta tengan su
simétrico en la otra.
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Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un
cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de
simetría).
9. Medidas de superficie.
La unidad principal de medida es el metro cuadrado.
Medidas de superficie
El punto del tema tiene una importante aplicación en la medición de espacios, de
figuras, entre otros. Hemos de saber utilizar la unidad de superficie del Sistema
Internacional junto con sus múltiplos y submúltiplos.
Por ejemplo, si un agricultor que quiera comprar o vender un terreno necesita conocer la
superficie del terreno, o igual si queremos saber la medida de nuestro salón de clase.
Si cercamos un terreno, la cerca representa el perímetro del mismo, y el espacio
interior es la superficie del terreno.
Metro cuadrado
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La unidad de las medidas de superficie en el Sistema Internacional
de Medidas es el metro cuadrado, que es un cuadrado cuyo lado
mide un metro.
Las medidas de superficie tienen dos dimensiones: largo y ancho,
por lo que si multiplicamos 1 metro de largo por 1 metro de ancho
tendremos como resultado 1 metro cuadrado.
El símbolo del metro cuadrado es m2
Múltiplos
Son unidades de superficie mayores que el metro cuadrado; y son el decámetro
cuadrado (dam2), el hectómetro cuadrado (hm2) y el kilómetro cuadrado (km2).
Si multiplicamos 1 decámetro de largo (10 m) x 1 decámetro de ancho (10 m)
obtenemos un decámetro cuadrado (10 m X 10 m = 100 m2)
Si multiplicamos 1 hectómetro de largo (100 m) x 1 hectómetro de ancho (100 m)
obtenemos un hectómetro cuadrado (100 m X 100 m = 10000 m2)
Si multiplicamos 1 kilómetro de largo (1000 m) x 1 kilómetro de ancho (1000 m)
obtenemos un kilómetro cuadrado (1000 m X 1000 m = 1000000 m2)
Submúltiplos
Son unidades de superficie menores que el metro cuadrado; y son el decímetro
cuadrado dm2, el centímetro cuadrado cm2 y el milímetro cuadrado mm2.
Si multiplicamos 1 decímetro de largo (0,1 m) x 1 decímetro de ancho (0,1 m)
obtenemos un decímetro cuadrado (0,1 m X 0,1 m = 0,01 m2)
Si multiplicamos 1 centímetro de largo (0,01 m) x 1 centímetro de ancho (0,01 m)
obtenemos un centímetro cuadrado (0,01 m X 0,01 m = 0,0001 m2)
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Diocesana de Magisterio
“La Inmaculada”
ADSCRITA A LA UNIVERSIDAD DE GRANADA
María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática
ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA
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Si multiplicamos 1 milímetro de largo (0,001 m) x 1 milímetro de ancho (0,001)
obtenemos un milímetro cuadrado (0,001 m X 0,001 m = 0,000001 m2)
Medidas agrarias
Para medir terrenos se han usado diversas unidades tales como el
área, la hectárea, la cuadra, y otras de acuerdo al país, época o
sistema de medida. En nuestro país se utiliza la cuadra y la hectárea
como unidades comunes.
Vamos a conocer una unidad que no pertenece al Sistema
Internacional de Medidas conocida como Área y su múltiplo la
Hectárea.
Cuando en un terreno marcamos un cuadrado de 10 m de lado,
estamos señalando la unidad agraria conocida como Área.
Así tenemos que 1 área equivale a 100 m2 o 1 dam2.
Un múltiplo del área muy utilizado es la hectárea (ha) que equivale
a 100 áreas.
Una hectárea en el Sistema Internacional de Medidas equivale a un
hectómetro cuadrado (1 hm2) o 10000 m2.
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